Dalam kalkulus variabel tunggal, integral tentu $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ menangkap luas bersih di bawah kurva. Ketika kita melangkah ke dimensi ketiga, kita memperluas logika ini untuk mencari volume di bawah permukaan $z = f(x, y)$.
1. Definisi Formal
Kita mendefinisikan integral ganda dari fungsi $f$ atas persegi panjang tertutup $R = [a, b] \times [c, d]$ sebagai limit dari jumlah Riemann ganda:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
di mana $\Delta A = \Delta x \Delta y$ adalah luas dari sub-persegi panjang $R_{ij}$, dan $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ adalah titik sampel sembarang dalam $R_{ij}$.
1. Pembagian Geometris: Bagilah $R$ menjadi $m \times n$ sub-persegi panjang $R_{ij}$ dengan $x_i = a + i\Delta x$ dan $y_j = c + j\Delta y$.
2. Aproksimasi Padat: Untuk setiap $R_{ij}$, bangunlah kolom dengan tinggi $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. Volume $V$ dari padatan $S$ diperkirakan oleh $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. Limit: Ketika kisi menjadi sangat halus ($m, n \to \infty$), aproksimasi konvergen menuju volume eksak.
2. Teorema Nilai Rata-Rata
Sama seperti nilai rata-rata tinggi kurva dalam dimensi satu adalah $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, nilai rata-rata permukaan $z=f(x,y)$ atas daerah $R$ adalah:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Nilai $f_{ave}$ ini mewakili tinggi sebuah kotak persegi panjang tunggal dengan alas $R$ yang akan memiliki volume yang sama dengan padatan kompleks di bawah permukaan tersebut.